لونا عساف
عضو جديد
حل المعادلة التربيعية:
لقد تعلمنا سابقاً، في المعادلات التي يكون المجهول فيها من الدرجة الأولى أن حل المعادلة تعني إيجاد قيمة المجهول وفي حالة المعادلة التربيعية لا يختلف الأمر ، فحلها يعني إيجاد قيمتي (سنجد أن للمجهول قيمتين لأن المعادلة تربيعية) المجهول الوارد فيها .
طرق حل المعادلة التربيعية:
يمكن حل المعادلة التربيعية بعدة طرق، منها إعادتها إلى أصلها وهو الاقتران التربيعي، ومنها طريقة التحليل إلى العوامل ، وطريقة القانون العام كل هذه الطرق تختلف عن بعضها قليلاً وفي أمور تفصيلية أما أساسها فهو واحد.
سنطبق هذه الطرق المختلفة على مثال واحد لنقارن بينها ولنتمكن من ربطها ببعضها .
حل المعادلة : س2 6س + 5 = 0 مثال :
1) الطريقة الأولى : عمل جدول بقيم س ، ق ( س ) المقابلة لها .
الحل : المعادلة المطلوب حلها هي س2 6س + 5 = 0
اختر قيماً لـِ س في الفترة ( 5، +5 )، ثم أوجد قيم ق (س) المقابلة. يكون حل المعادلة هو قيم س التي يكون عندها ق (س) = الصفر .
جدول بقيم س ، ق(س) المقابلة لها
5 4 3 2 1 صفر 1
2
3
4
5
س
صفر 3
4
3
صفر 5 12 21 32 45 60 ق(س)
وكماهو واضح من الجدول يكون حل المعادلة هو : س = 1 و س = 5 .
2) الطريقة الثانية :
الحل برسم منحنى الاقتران ( القطع المكافئ ) ق (س) = س2 6 س + 5 المقابل للمعادلة.
الحل:
في هذه الطريقة نضع جدولاً بقيم نختارها للمتغير في الاقتران ونجد قيم ق (س) المقابلة لها ، كما هو الحال مع ما قمنا به بالطريقة الأولى .
6 5 4 3 2 1 صفر س
5 صفر 3
4
3
صفر 5 ق (س)
نرسم منحنى الاقتران ونجد نقاط تقاطعه مع محور السينات (ص = صفر) فتكون قيم س عند هذه النقط هي حل المعادلة .
ارسم المنحنى بدقة ( أو باستخدام الحاسوب ) تجد أنه يتقاطع مع محور السينات عند النقطتين س = 1 ، س = 5 .
أي أن حل المعادلة هو س = 1 و س = 5 .
- ملاحظات على الطريقتين السابقتين :
1. إذا كانت قيم المجهول في المعادلة التربيعية قيماً كسرية أو أعداداً غير نسبية فلن تظهر في الجدول ولكنها ستظهر بشكل تقريبي على منحنى القطع المكافئ، لذلك عند الرسم يجب مراعاة الدقة كما يفضل استخدام الحاسوب في رسم المنحنى .
أمثلة :
3) س2 – 8.2 س +16 = صفر س ¬ 3.2 ، 5 .
2. إذا كانت قيم المجهول كبيرة مثلاً في معادلات مثل :
س2 23 س 570 = صفر حيث س = 38 و 15 فيجب مراعاة الأمر عند الرسم واستخدام مقياس مناسب حيث 1سم على ورقة المربعات يمكن أن يمثل 5 أو عشر وحدات .....إلخ.
إن عمل جدول بقيم س ، ق ( س ) في مثل هذه الحالات يتطلب بعض الوقت .
يفضل استخدام الطريقتين السابقتين حينما تكون قيم المجاهيل صغيرة مثلاً 10 ³ س ³ +10 .
3. نعود ونؤكد عند استخدام هاتين الطريقتين ( وهما في الواقع طريقة واحدة حيث أن ارتباط الواحدة بالأخرى يكون عضوياً ) على ضرورة الرسم بمنتهى الدقة والأفضل أن يكون رسم المنحنى باستخدام الحاسوب إذا كان الدارس قادراً على ذلك .
3) الطريقة الثالثة:
طريقة التحليل إلى العوامل الأولية هذه طريقة سهلة تعتمد على ما تعلمت سابقاً تحت عنوان " تحليل العبارة التربيعية ".
حل المعادلة س2 6 س +5 = صفر بالتحليل إلى العوامل .
الحل:
الطرف الأيمن في المعادلة س2 6 س +5 = صفر هو مقدار ثلاثي حدود تربيعي ( أي عبارة تربيعية ) يمكن تحليله بسهولة كما تعلمنا حيث نبحث عن عددين حاصل ضربهما + 5 ومجموعهما 6 ، نجد أن هذين العددين هما 1 ، 5 ، إذن :
س2 6 س +5 = صفر ( س 5 )( س 1 ) = صفر .
حصلنا على مقدارين هما ( س 5 ) و ( س 1 ) حاصل ضربهما = صفر وهذا لا يمكن إلا إذا كان أحد المقدارين أو كلاهما = الصفر.
إذا فرضنا أن س 5 = صفر تكون س = 5
وإذا فرضنا أن س 1 = صفر تكون س = 1
هذه الطريقة تصلح ما دام الدارس قادراً على تحليل العبارة التربيعية بسهولة ودون عناء مثلاً:
س2 7 س 18 = صفر .
حيث تحليل س2 7 س 18 هو (س 9) (س + 2)
إذن (س 9) (س + 2) = صفر .
إذن س = 9
ومنه س 9 = صفر
إذن س = 2
ومنه س + 2 = صفر
أي أن س = 9 ، 2 .
أما إذا كان الأمر يتعلق بمعادلات من النمط :
أ) 14 س2 + س 30 = صفر قابلة للتحليل في قوسين .
ب) س2 + 4 س 117 = صفر قابلة للتحليل في قوسين.
ج) س2 7 س + 11 = صفر غير قابلة للتحليل .
في مثل هذه الحالات علينا أن نبحث عن طريقة أخرى غير طريقة التحليل إلى العوامل ، وغير الطريقتين الأولى والثانية أيضاً.
المطلوب حل المعادلة س2 – 6س + 5 = 0
حسب القانون
حيث أ = 1 ، ب = -6 ، جـ = 5 .
= 5 و 1 .
أي أن س = 5 و 1 وهي ذات النتيجة التي حصلنا عليها بالطرق التي طبقناها سابقاً .
تسمى الطريقة التي اتبعناها في الحصول على قانون المعادلة التربيعية باسم طريقة إكمال المربع ، وهي تعتمد بشكل أساسي على إضافة وطرح مربع نصف معامل س .
كان معامل س في معادلة (2) =
مثال آخر :
حل المعادلة 3 س2 + 11س + 6 = صفر
الحل : أ = 3 ، ب = 11 ، جـ = 6 .
تحقق من صحة الحل .
مثال آخر:
حل المعادلة (أ) المعطاة في نهاية الطريقة الثالثة وهي 14 س2 + س – 30 = صفر .
الحل:
تحقق من صحة الحل .
لقد تعلمنا سابقاً، في المعادلات التي يكون المجهول فيها من الدرجة الأولى أن حل المعادلة تعني إيجاد قيمة المجهول وفي حالة المعادلة التربيعية لا يختلف الأمر ، فحلها يعني إيجاد قيمتي (سنجد أن للمجهول قيمتين لأن المعادلة تربيعية) المجهول الوارد فيها .
طرق حل المعادلة التربيعية:
يمكن حل المعادلة التربيعية بعدة طرق، منها إعادتها إلى أصلها وهو الاقتران التربيعي، ومنها طريقة التحليل إلى العوامل ، وطريقة القانون العام كل هذه الطرق تختلف عن بعضها قليلاً وفي أمور تفصيلية أما أساسها فهو واحد.
سنطبق هذه الطرق المختلفة على مثال واحد لنقارن بينها ولنتمكن من ربطها ببعضها .
حل المعادلة : س2 6س + 5 = 0 مثال :
1) الطريقة الأولى : عمل جدول بقيم س ، ق ( س ) المقابلة لها .
الحل : المعادلة المطلوب حلها هي س2 6س + 5 = 0
اختر قيماً لـِ س في الفترة ( 5، +5 )، ثم أوجد قيم ق (س) المقابلة. يكون حل المعادلة هو قيم س التي يكون عندها ق (س) = الصفر .
جدول بقيم س ، ق(س) المقابلة لها
5 4 3 2 1 صفر 1
2
3
4
5
س
صفر 3
4
3
صفر 5 12 21 32 45 60 ق(س)
وكماهو واضح من الجدول يكون حل المعادلة هو : س = 1 و س = 5 .
2) الطريقة الثانية :
الحل برسم منحنى الاقتران ( القطع المكافئ ) ق (س) = س2 6 س + 5 المقابل للمعادلة.
الحل:
في هذه الطريقة نضع جدولاً بقيم نختارها للمتغير في الاقتران ونجد قيم ق (س) المقابلة لها ، كما هو الحال مع ما قمنا به بالطريقة الأولى .
6 5 4 3 2 1 صفر س
5 صفر 3
4
3
صفر 5 ق (س)
نرسم منحنى الاقتران ونجد نقاط تقاطعه مع محور السينات (ص = صفر) فتكون قيم س عند هذه النقط هي حل المعادلة .
ارسم المنحنى بدقة ( أو باستخدام الحاسوب ) تجد أنه يتقاطع مع محور السينات عند النقطتين س = 1 ، س = 5 .
أي أن حل المعادلة هو س = 1 و س = 5 .
- ملاحظات على الطريقتين السابقتين :
1. إذا كانت قيم المجهول في المعادلة التربيعية قيماً كسرية أو أعداداً غير نسبية فلن تظهر في الجدول ولكنها ستظهر بشكل تقريبي على منحنى القطع المكافئ، لذلك عند الرسم يجب مراعاة الدقة كما يفضل استخدام الحاسوب في رسم المنحنى .
أمثلة :
3) س2 – 8.2 س +16 = صفر س ¬ 3.2 ، 5 .
2. إذا كانت قيم المجهول كبيرة مثلاً في معادلات مثل :
س2 23 س 570 = صفر حيث س = 38 و 15 فيجب مراعاة الأمر عند الرسم واستخدام مقياس مناسب حيث 1سم على ورقة المربعات يمكن أن يمثل 5 أو عشر وحدات .....إلخ.
إن عمل جدول بقيم س ، ق ( س ) في مثل هذه الحالات يتطلب بعض الوقت .
يفضل استخدام الطريقتين السابقتين حينما تكون قيم المجاهيل صغيرة مثلاً 10 ³ س ³ +10 .
3. نعود ونؤكد عند استخدام هاتين الطريقتين ( وهما في الواقع طريقة واحدة حيث أن ارتباط الواحدة بالأخرى يكون عضوياً ) على ضرورة الرسم بمنتهى الدقة والأفضل أن يكون رسم المنحنى باستخدام الحاسوب إذا كان الدارس قادراً على ذلك .
3) الطريقة الثالثة:
طريقة التحليل إلى العوامل الأولية هذه طريقة سهلة تعتمد على ما تعلمت سابقاً تحت عنوان " تحليل العبارة التربيعية ".
حل المعادلة س2 6 س +5 = صفر بالتحليل إلى العوامل .
الحل:
الطرف الأيمن في المعادلة س2 6 س +5 = صفر هو مقدار ثلاثي حدود تربيعي ( أي عبارة تربيعية ) يمكن تحليله بسهولة كما تعلمنا حيث نبحث عن عددين حاصل ضربهما + 5 ومجموعهما 6 ، نجد أن هذين العددين هما 1 ، 5 ، إذن :
س2 6 س +5 = صفر ( س 5 )( س 1 ) = صفر .
حصلنا على مقدارين هما ( س 5 ) و ( س 1 ) حاصل ضربهما = صفر وهذا لا يمكن إلا إذا كان أحد المقدارين أو كلاهما = الصفر.
إذا فرضنا أن س 5 = صفر تكون س = 5
وإذا فرضنا أن س 1 = صفر تكون س = 1
هذه الطريقة تصلح ما دام الدارس قادراً على تحليل العبارة التربيعية بسهولة ودون عناء مثلاً:
س2 7 س 18 = صفر .
حيث تحليل س2 7 س 18 هو (س 9) (س + 2)
إذن (س 9) (س + 2) = صفر .
إذن س = 9
ومنه س 9 = صفر
إذن س = 2
ومنه س + 2 = صفر
أي أن س = 9 ، 2 .
أما إذا كان الأمر يتعلق بمعادلات من النمط :
أ) 14 س2 + س 30 = صفر قابلة للتحليل في قوسين .
ب) س2 + 4 س 117 = صفر قابلة للتحليل في قوسين.
ج) س2 7 س + 11 = صفر غير قابلة للتحليل .
في مثل هذه الحالات علينا أن نبحث عن طريقة أخرى غير طريقة التحليل إلى العوامل ، وغير الطريقتين الأولى والثانية أيضاً.
المطلوب حل المعادلة س2 – 6س + 5 = 0
حسب القانون
حيث أ = 1 ، ب = -6 ، جـ = 5 .
= 5 و 1 .
أي أن س = 5 و 1 وهي ذات النتيجة التي حصلنا عليها بالطرق التي طبقناها سابقاً .
تسمى الطريقة التي اتبعناها في الحصول على قانون المعادلة التربيعية باسم طريقة إكمال المربع ، وهي تعتمد بشكل أساسي على إضافة وطرح مربع نصف معامل س .
كان معامل س في معادلة (2) =
مثال آخر :
حل المعادلة 3 س2 + 11س + 6 = صفر
الحل : أ = 3 ، ب = 11 ، جـ = 6 .
تحقق من صحة الحل .
مثال آخر:
حل المعادلة (أ) المعطاة في نهاية الطريقة الثالثة وهي 14 س2 + س – 30 = صفر .
الحل:
تحقق من صحة الحل .